Obliczanie gęstości strumienia magnetycznego (wzór)

Gęstość strumienia magnetycznego nazywana jest także „polem B” lub „indukcją magnetyczną”. Pole B naszych supermagnesów można obliczyć na osi biegun północny–biegun południowy za pomocą podanych tu wzorów. Dodatkowo udostępniamy tabele (Excel / OpenOffice), w których mogą Państwo automatycznie obliczyć gęstość strumienia magnetycznego. Natomiast obliczanie pól B w całej przestrzeni jest znacznie bardziej złożone i odbywa się za pomocą programów komputerowych.

Spis treści

Gęstość strumienia magnetycznego magnesu nazywa się także "polem B" lub "indukcją magnetyczną". Podaje się ją w jednostkach tesla (jednostka SI) lub gauss (10 000 gauss = 1 tesla).

Magnes trwały wytwarza wewnątrz siebie i w swoim otoczeniu zewnętrznym pole B. Każdemu punktowi wewnątrz i na zewnątrz magnesu można przypisać wartość natężenia pola B wraz z kierunkiem. Umieszczając małą igłę kompasu w polu B magnesu, ustawi się ona zgodnie z kierunkiem pola. Siła wymuszająca to ustawienie jest proporcjonalna do natężenia pola B.

Nie istnieją proste wzory do obliczania gęstości strumienia magnetycznego dla dowolnych kształtów magnesów. W tym celu opracowano programy komputerowe (patrz poniżej). Dla mniej złożonych, symetrycznych geometrii istnieją jednak proste wzory, które pozwalają obliczyć pole B na osi symetrii w kierunku od bieguna północnego do południowego. Poniżej udostępniamy Państwu te wzory do obliczania gęstości strumienia magnetycznego.

Wzór na gęstość strumienia dla magnesu płytkowego

Wzór na pole B na osi symetrii osiowo namagnesowanego magnesu płytkowego lub magnesu kostki:

\(\begin{aligned}B &= \frac{B_r}{\pi}\left[arctan\bigg(\frac{LW}{2z\sqrt{4z^2+L^2+W^2}}\bigg)- arctan\bigg(\frac{LW}{2(D+z)\sqrt{4(D+z)^2+L^2+W^2}}\bigg)\right]\end{aligned}\)

B_r: indukcja remanencji, niezależna od geometrii magnesu (zob. Dane fizyczne magnesów)

z: odległość na osi symetrii od jednej powierzchni bieguna

L: długość prostopadłościanu

W: szerokość prostopadłościanu

D: grubość (lub wysokość) prostopadłościanu

Jednostkę długości można wybrać dowolnie, o ile jest taka sama dla wszystkich długości.

Wzór na gęstość strumienia dla magnesu walcowego

Wzór na pole B na osi symetrii osiowo namagnesowanego magnesu walcowego (tarczy lub pręta):

\(\begin{aligned}B &= \frac{B_r}{2}\left(\frac{D+z}{\sqrt{R^2+(D+z)^2}}-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\right)\end{aligned}\)

B_r: indukcja remanencji, niezależna od geometrii magnesu (zob. Dane fizyczne magnesów)

z: odległość na osi symetrii od jednej z powierzchni biegunowej

D: grubość (ew. wysokość) cylindra

R: połowa średnicy (promień) cylindra

Jednostkę długości można dobrać dowolnie, o ile jest taka sama dla wszystkich długości.

Wzór na gęstość strumienia magnetycznego dla magnesu pierścieniowego

Wzór na pole B na osi symetrii osiowo namagnesowanego magnesu pierścieniowego:

\(\begin{aligned}B &= \frac{B_r}{2}\left[\frac{D+z}{\sqrt{R_a^2+(D+z)^2}}-\frac{z}{\sqrt{R_a^2+z^2}}-\left(\frac{D+z}{\sqrt{R_i^2+(D+z)^2}}-\frac{z}{\sqrt{R_i^2+z^2}}\right)\right]\end{aligned}\)

B_r: indukcja remanencji, niezależna od geometrii magnesu (zob. Dane fizyczne magnesów)

z: odległość na osi symetrii od jednej powierzchni bieguna

D: grubość (czyli wysokość) pierścienia

R_a: promień zewnętrzny pierścienia

R_i: promień wewnętrzny pierścienia

Jednostkę długości można wybrać dowolnie, o ile jest taka sama dla wszystkich długości.

Wzór dla magnesów pierścieniowych pokazuje, że pole B dla magnesu pierścieniowego składa się z pola większego magnesu walcowego o promieniu R_a minus pola mniejszego magnesu walcowego o promieniu R_i.

Wzór na gęstość strumienia dla magnesu kulistego

Wzór na pole B na osi symetrii osiowo namagnesowanego magnesu kulistego:

\(\begin{aligned}B &= B_r\frac{2}{3}\frac{R^3}{(R+z)^3}\end{aligned}\)

B_r: indukcja remanencji, niezależna od geometrii magnesu (zob. Dane fizyczne magnesów)

z: odległość na osi symetrii od krawędzi kuli

R: połowa średnicy (promień) kuli

Jednostka długości może być dowolna, o ile jest taka sama dla wszystkich długości.

Tabela z wzorami do obliczania indukcji magnetycznej

Powyższe wzory na indukcję magnetyczną można również wygodnie obliczać w tabeli. Wpisz dane dotyczące magnesów w żółte pola, a indukcja magnetyczna zostanie obliczona automatycznie. Dostępne są następujące wersje:

Źródło powyższych wzorów: Artykuł na researchgate.net

Obliczanie pól B w całej przestrzeni

Do obliczania pól B poza osiami symetrii lub pól dla dowolnych kształtów magnesów istnieją zaawansowane, najczęściej jednak bardzo drogie programy komputerowe, które potrafią obliczać pola B i znacznie więcej.

Oprogramowaniem ograniczonym do magnesów o symetrii obrotowej, lecz darmowym, jest FEMM ("Finite Element Method Magnetics").

Podobnie jak inne narzędzia, FEMM oblicza zawsze tylko połowę magnesu i przedstawia graficznie również tylko połowę, ponieważ pola B są symetryczne. Drugą połowę należy wyobrazić sobie następnie po lewej stronie jako odbicie lustrzane.